Heidelberg 1999 – scientific programme

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GR: Gravitation und Relativitätstheorie

GR 8: Klassische Einsteinsche Gravitation

GR 8.6: Talk

Tuesday, March 16, 1999, 17:50–18:10, AM1

Riemann-Hilbert-Techniken für die Ernst-Gleichung — •Christian Klein¹ and Olaf Richter² — ¹Institut für Theoretische Physik, Universität Tübingen, Auf der Morgenstelle 14, 72076 Tübingen — ²Sektion Physik der Universität München, Theresienstr. 37, 80333 München

Riemann-Hilbert-Techniken gehören zu den leistungsfähigsten Lösungsmethoden für integrable Differentialgelichungen, da sie Lösungen mit freien Funktionen erzeugen, die im Prinzip dazu verwendet werden können, Anfangs- oder Randwertprobleme für die behandelte Gleichung zu lösen. Selbst wenn es gelingt, die Anfangs- bzw. Randwertprobleme in ein Riemann-Hilbert-Problem zu übersetzen, ist es jedoch im allgemeinen unmöglich, explizite Lösungen zu erhalten, da das Problem einer linearen Integralgleichung entspricht. Im Fall der stationär axialsymmetrischen Einstein-Gleichungen im Vakuum, die der integrablen komplexen Ernst-Gleichung äquivalent sind, kann dies erreicht werden. Durch eine Eichtransformation des zugeh"origen linearen Differentialgleichungssystems kann das Problem auf ein skalares auf einer Riemannschen Fl"ache abgebildet werden, das stets l"osbar ist. Falls die Sprungfunktionen des Riemann-Hilbert-Problems rational sind, lassen sich die L"osungen durch hyperelliptische Thetafunktionen ausdr"ucken. Die physikalischen Eigenschaften derartiger L"osungen wie Ergosph"aren und Stabilit"atsgrenzwerte werden diskutiert.